Question

已知，正方形DEFG内接于△ABC中，且点E、F在BC上，点D，G分别在AB，AC上．

（1）如图①，若△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3，求正方形的边长；
（2）如图②，若S_△ADG=1，S_△BDE=3，S_△FCG=1，求正方形的边长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据勾股定理求出BC，求出BC边上的高AM，根据相似三角形的性质得出方程，求出方程的解即可．
（2）过A作AM⊥BC于M，交DG于N，设正方形DEFG的边长是a，AN=b，根据三角形面积公式求出BE=3b，CF=b，ab=2，推出b=

2

a

①，根据S_{正方形DEFG}=S_△ABC-（S_△ADG+S_△BDE+S_△CFG）求出a=2b②，由①②即可求出答案．

解答：解：（1）设正方形DEFG的边长是x，
∵△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3，
∴由勾股定理得：BC=5，
过A作AM⊥BC于M，交DG于N，
由三角形面积公式得：

1

2

AB×AC=

1

2

BC×AM，
∵AB=4，AC=3，BC=5，
∴AM=2.4，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG=GF=EF=DE=MN=x，DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

DG

BC

=

AN

AM

，
∴

x

5

=

2.4-x

2.4

，
x=

60

37

，
即正方形DEFG的边长是

60

37

；

（2）过A作AM⊥BC于M，交DG于N，
设正方形DEFG的边长是a，AN=b，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG=GF=EF=DE=MN=a，DG∥BC，
∵S_△ADG=1，S_△BDE=3，S_△FCG=1，
∴

1

2

ab=1，

1

2

BE•a=3，

1

2

CF•a=1，
∴BE=3b，CF=b，
∴S_△ADG+S_△BED+S_CFG=

1

2

ab+

3

2

ab+

1

2

ab=1+3+1=5，
∴ab=2，
∴b=

2

a

①，
∵S_{正方形DEFG}=S_△ABC-（S_△ADG+S_△BDE+S_△CFG）
=

1

2

（BE+EF+CF）×（AN+MN）-（S_△ADG+S_△BDE+S_△CFG）
=

1

2

（a+4b）（a+b）-5=a²，
∴a=2b②，
由①②得：a=2，
即正方形的边长是2．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形面积公式，正方形的性质的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．