Question

如图，已知⊙O₁、⊙O₂外切于点P，它们的半径分别为4和1，直线l与⊙O₁、⊙O₂分别相切于点A、B，求直线O₁O₂与直线l所成锐角∠T的正弦值．

Answer 1

考点：相切两圆的性质,切线的性质

专题：计算题

分析：连结O₁A，O₂B，作O₂H⊥O₁A，根据相切两圆的性质和切线的性质得O₁A⊥l，O₂A⊥l，O₁O₂=5，则O₂H∥l，所以∠O₁O₂H=∠O₁TA，于是AH=BO₂=1，O₁H=3，
在Rt△O₁O₂H中，根据正弦的定义得sin∠O₁O₂H=

O1H

O1O2

=

3

5

，即sin∠O₁TA=

3

5

．

解答：解：连结O₁A，O₂B，作O₂H⊥O₁A，如图，
∵⊙O₁、⊙O₂外切于点P，
∴O₁A⊥l，O₂A⊥l，O₁O₂=4+1=5，
∴O₂H∥l，
∴∠O₁O₂H=∠O₁TA，
∴AH=BO₂=1，
∴O₁H=4-1=3，
在Rt△O₁O₂H中，sin∠O₁O₂H=

O1H

O1O2

=

3

5

，
∴sin∠O₁TA=

3

5

．
即直线O₁O₂与直线l所成锐角∠T的正弦值为

3

5

．

点评：本题考查了相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．也考查了切线的性质和正弦的定义．