Question

18．（1）已知x₁=3是关于x的一元二次方程x²-4x+c=0的一个根，求c的值和方程的另一个根．
（2）如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．

Answer 1

分析 （1）把x₁=3代入方程求得c的值，从而还原方程，再利用因式分解法求解可得；
（2）根据矩形的性质知∠A=∠B=90°、AD=BC，由∠AOC=∠BOD知∠AOD=∠BOC，证△AOD≌△BOC可得答案．

解答 解：（1）把x₁=3代入方程得：9-12+c=0
∴c=3，
把c=3代入方程得：x²-4x+3=0
解得：x₁=3，x₂=1；

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC-∠DOC=∠BOD-∠DOC，
∴∠AOD=∠BOC，
在△AOD和△BOC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}\\{∠AOD=∠BOC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△BOC（AAS），
∴AO=OB．

点评 本题主要考查因式分解法解一元二次方程、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握解一元二次方程的能力和方法及熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．