Question

已知：如图，边长为6的正△ABC内有一边长为4的内接正△DEF，则下列结论①△DBF≌△ECD；②△AEF的周长为10；③△AEF的内切圆的半径为

3

3

，其中正确的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、0个

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,等边三角形的性质

专题：压轴题

分析：①由边长为6的正△ABC内有一边长为4的内接正△DEF，根据AAS即可判定△AEF≌△BFD≌△CDE；
②由△AEF≌△BFD≌△CDE，即可得AE=BF，即可求得△AEF的周长为：AB+EF=10；
③易求得△AEF的面积，又由三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半，即可求得△AEF的内切圆的半径．

解答：解：∵△ABC、△DEF都是正三角形，且△DEF的三个顶点都在△ABC的边上，
∴∠A=∠B=∠C=60°，EF=DE=DF，
∴∠AFE+∠BFD=120°，∠BFD+∠FDB=120°，
∴∠AFE=∠BDF，
同理可得：∠AFE=∠BDF=∠CED，
∵在△AEF和△BFD和△CDE中，

∠A=∠B=∠C ∠AFE=∠BDF=∠CED EF=FD=DE

∴△AEF≌△BFD≌△CDE（AAS），
故①正确；
∴AE=BF，
∴△AEF的周长为：AE+AF+EF=BF+AF+EF=AB+EF=6+4=10，
故②正确；
设△AEF的内切圆半径为r，
∵S_△ABC=9

3

，S_△DEF=4

3

，
∴S_△AEF=

1

3

（S_△ABC-S_△DEF）=

5 3

3

，
∴r=

2S△AEF

AE+EF+AF

=

2× 5 3 3

10

=

3

3

，
故③正确．
故选C．

点评：此题考查了三角形的内切圆的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．