Question

17．在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，AB=BC，DC=6，AD=9，且∠ABC=2∠ADC=60°，则BD=3$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 先判断出AB=AC，再利用旋转作出辅助线，进而判断出△ADE是等边三角形，再判断出△CDE是直角三角形，利用勾股定理即可求出CE，即可得出结论．

解答 解：如图，∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∴将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
连接DE．
由旋转知，AE=AD=9，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AD=9，∠ADE=60°，
∵2∠ADC=60°，
∴∠ADC=30°，
∴∠CDE=∠ADC+∠ADE=90°，
在Rt△CDE中，CD=6，DE=9，
根据勾股定理得，CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，
∴BD=CE=3$\sqrt{13}$，
故答案为：3$\sqrt{13}$．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的旋转、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．解本题的关键是利用旋转做出辅助线构造出直角三角形；注意掌握数形结合思想的应用．