Question

7．如图，抛物线y=-（x-1）²+m经过E（2，3），与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴的交于点是H，点F是AE中点，连接FH．求线段FH的长；
（3）P为直线AE上方抛物线上的点．当△AEP的面积最大时．求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）把E点坐标代入抛物线解析式可求得m的值，可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得A点坐标，则可求得F点坐标，由对称轴可求得H坐标，则可求得FH的长；
（3）由A、E坐标，利用待定系数法可求得直线AE的解析式，过P作PG∥y轴，交直线AE于点G，设出P点坐标，则可表示出G点坐标，从而可表示出PG的长，进一步表示出△APE的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时的点P坐标．

解答 解：
（1）∵y=-（x-1）²+m经过E（2，3），
∴3=-（2-1）²+m，解得m=4，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）²+4；
（2）在y=-（x-1）²+4中，令y=0可得-（x-1）²+4=0，解得x=3或x=-1，
∴A（-1，0），
∵F是AE的中点，且E（2，3）
∴F（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
由抛物线解析式可求得抛物线对称轴为x=1，
∴H（1，0），
∴FH=$\sqrt{（1-\frac{1}{2}）^{2}+（0-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
（3）如图，过P作PG∥y轴，交直线AE于点G，

设直线AE解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AE解析式为y=x+1，
∵P为直线AE上方抛物线上的点，
∴设P（t，-（t-1）²+4），则G（t，t+1），
∴PG=-（t-1）²+4-（t+1）=-t²+t+2=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴S_△PAE=$\frac{1}{2}$PG•[3-（-1）]=2PG=-2（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{2}$，
∵-2＜0，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，S_△PAE有最大值，此时P点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、一元二次方程、勾股定理、中点的定义、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中利用中点求得F点的坐标是解题的关键，在（3）中用P点的坐标表示出△PAE的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．