Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A₁B₁C，连接BB₁，设CB₁交AB于D，A₁B₁分别交AB，AC于E，F
（1）求证：△CBD≌△CA₁F；
（2）试用含α的代数式表示∠B₁BD；
（3）当α等于多少度时，△BB₁D是等腰三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据已知条件，利用旋转的性质及全等三角形的判定方法，来判定三角形全等．
（2）利用等腰直角三角形的性质得到∠CBA=45°．然后由旋转的性质推知BC=B₁C，则∠CB₁B=∠CBB₁，所以根据三角形内角和定理进行解答即可．
（3）当△BBD是等腰三角形时，要分别讨论B₁B=B₁D、BB₁=BD、B₁D=DB三种情况，第一，三种情况不成立，只有第二种情况成立，求得α=30°．

解答：（1）证明：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC．
∵△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A₁B₁C，
∴∠A₁=∠A，A₁C=AC，∠ACA₁=∠BCB₁=α．
∴∠A₁=∠CBD，A₁C=BC．
在△CBD与△CA₁F中，

∠CBD=∠CA1F BC=A1F ∠BCD=∠A1CF

，
∴△CBD≌△CA₁F（ASA）．

（2）∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
又由旋转的性质得到BC=B₁C，则∠CB₁B=∠CBB₁，
∴∠CB₁B=∠CBB₁=

180°-α

2

=90°-

α

2

．
∴∠B₁BD=∠CBB₁-∠CBA=90°-

α

2

-45°=45°-

α

2

；

（3）在△CBB₁中，∵CB=CB₁
∴∠CBB₁=∠CB₁B=

1

2

（180°-α）．
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
①若B₁B=B₁D，则∠B₁DB=∠B₁BD，
∵∠B₁DB=45°+α，∠B₁BD=∠CBB₁-45°=

1

2

（180°-α）-45°=45°-

α

2

，
∴45°+α=45°-

α

2

，
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD，
∴BD＞B₁D，即BD≠B₁D；
③若BB₁=BD，则∠BDB₁=∠BB₁D，即45°+α=

1

2

（180°-α），α=30°
由①②③可知，当△BB₁D为等腰三角形时，α=30°．

点评：本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SAA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．