Question

8．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲乙两种商品的进货单价之和是10元．
信息2：甲商品零售单价比进货单价多2元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少3元．
信息3：按零售单价购买甲商品2件和乙商品3件，共付了31元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的进货单价各是多少元；
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件，乙商品200件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每涨0.5元，这两种商品每天各少销售50件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲乙两种商品的零售价都涨n元，在不考虑其他因素的条件下，当甲、乙两种商品的零售单价分别为多少元时，才能使商店每天销售这两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少元？

Answer 1

分析 （1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；
（2）把商店的销售利润表示成n的函数，根据函数的性质即可求解．

解答 解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为x，y元，则甲的零售价是（x+2）元，乙的零售价是（2y-3）元．
根据题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{x+y=10}\\{2（x+2）+3（2y-3）=31}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴甲、乙零售单价分别为6元和4元；

（2）甲、乙两种商品的零售单价都涨n元，则甲、乙商品的销售量分别是（500-100n）、（200-100n）件，甲的每件利润是（2+n）元，乙每件的利润是2y-3-y+n=y-3+n=1+n元．
则商店的每天的销售利润w=（500-100n）（2+n）+（200-100n）（1+n），即w=-200n²+400n+1200，
则当n=-$\frac{400}{2×（-200）}$=1时，w最大，最大值是：1400元．

点评 此题主要考查了一元二次方程的应用，此题比较典型也是近几年中考中热点题型，注意表示总利润时表示出商品的单件利润和所卖商品件数是解决问题的关键．