Question

17．（1）计算：$\sqrt{48}$$÷\sqrt{3}$-$\sqrt{\frac{1}{2}}$×$\sqrt{12}$+$\sqrt{24}$
（2）观察下列各式：
$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{\frac{1}{3}}$；$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=3$\sqrt{\frac{1}{4}}$；$\sqrt{3+\frac{1}{5}}$=4$\sqrt{\frac{1}{5}}$…，
①$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$；$\sqrt{5+\frac{1}{7}}$=6$\sqrt{\frac{1}{7}}$．
②请用含有自然数n（n≥1）的代数式，将你猜想到的规律表达出来．

Answer 1

分析 （1）先根据二次根式的乘除法则运算，然后合并即可；
（2）①根据所给式子的规律填空；
②利用二次根式的性质可把$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$变形为（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（n≥1的整数）．

解答 解：（1）原式=$\sqrt{48÷3}$-$\sqrt{\frac{1}{2}×12}$+2$\sqrt{6}$
=4-$\sqrt{6}$+2$\sqrt{6}$
=4+$\sqrt{6}$；
（2）①$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$；$\sqrt{5+\frac{1}{7}}$=6$\sqrt{\frac{1}{7}}$；
②$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$=$\sqrt{\frac{n（n+2）+1}{n+2}}$=$\sqrt{\frac{（n+1）^{2}}{n+2}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（n≥1的整数）．
故答案为5$\sqrt{\frac{1}{6}}$；6$\sqrt{\frac{1}{7}}$．

点评 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．