Question

10．如图，有一定圆O，直径为AB，今有一动点P在半圆AmB上移动，过点P作AB的垂线PQ，试证：∠OPQ的平分线恒通过一定点．

Answer 1

分析 设∠OPQ的平分线交⊙O于C点，连结OC，如图，由PC平分∠OPQ得∠1=∠2，加上∠C=∠2，则∠C=∠1，于是可判断OC∥PQ，而PQ⊥AB，所以OC⊥AB，则根据垂径定理的推论可判断OC平分弧ACB，即点C为半圆AB的中点．

解答 证明：设∠OPQ的平分线交⊙O于C点，连结OC，如图，
∵OB=OC，
∴∠C=∠2，
∵PC平分∠OPQ，
∴∠1=∠2，
∴∠C=∠1，
∴OC∥PQ，
而PQ⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴OC平分弧ACB，
即点C为半圆AB的中点，
∴∠OPQ的平分线恒通过一定点．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．