Question

12．如图，抛物线y=x²-（2m+4）x+m²+4m交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C，其顶点为D．
（1）求AB的长；
（2）连接CD，BC，当∠BCD=90°时，求抛物线解析式；
（3）连接AC，在（2）的前提下，在抛物线上是否存在点T，使得∠BCT+∠ACO=∠BAC？若存在，求出点T坐标；若不存在，写出理由．

Answer 1

分析 （1）由点A，B在x轴上，求出点A，B的坐标即可；
（2）点C，D的坐标表示出来，用△MCD∽△OBC得到$\frac{OB}{CM}$=$\frac{OC}{MD}$，代入即可；
（3）先求出AN，再确定出直线CW的解析式为y=-$\frac{1}{7}$x-3，和抛物线y=x²-2x-3联立方程组即可．

解答 解：（1）令y=0，
∴x²-（2m+4）x+m²+4m=0，
∴x₁=m，x₂=m+4，
∴A（m，0），B（m+4，0），
∴AB=4，
（2）如图1，

过点D作DM⊥y轴，C（0，m²+4m），D（m+2，-4），
∵∠BCD=90°，∠BOC=90°，
∴∠MCD=∠OBC，∠MDC=∠OCB，
∴△MCD∽△OBC，
∴$\frac{OB}{CM}$=$\frac{OC}{MD}$，
∴$\frac{m+4}{{m}^{2}+4m+4}=\frac{-{m}^{2}-4m}{m+2}$，
∴m₁=m₂=-1，
∴y=x²-2x-3；
（3）存在；
如图2

作∠CAN=∠ACO，
∴AN=CN，
∵∠BCT=∠ACO=∠BAC，
∴∠BCT=∠OAN，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
在Rt△AON中，OA=1，设ON=a，
∴AN=CN=3-a，
∴（3-a）²=1²+a²，
∴ON=a=$\frac{4}{3}$
假设抛物线上存在点T，过点B作BW⊥BC，交CT的延长线于W，过W作WH⊥x轴，
∴$\frac{BW}{BC}$=$\frac{ON}{OA}$=$\frac{4}{3}$，
∴BW=4$\sqrt{2}$，BH=HW=4，
∴W（7，-4），直线CW的解析式为y=-$\frac{1}{7}$x-3，
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=-\frac{1}{7}x-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{13}{7}}\\{{y}_{1}=\frac{160}{49}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$（舍），
∴T₁（$\frac{13}{7}$，$\frac{160}{49}$），
同理可得：T₂（-5，32）．
即：抛物线上是存在点T，使得∠BCT+∠ACO=∠BAC，点T₁（$\frac{13}{7}$，$\frac{160}{49}$），T₂（-5，32）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查相似三角形的性质和判定，勾股定理，确定图象交点坐标，作出辅助线是解本题的关键，也是难点．