Question

20．如图，在?ABCD中，O为BD的中点，过O作两条互相垂直的直线，分别交四边形ABCD于E，F，G，H，求证：四边形EFGH是菱形．

Answer 1

分析 根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCG，然后利用“角边角”证明△AOE和△COG全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OG，同理可得OF=OH，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形EFGH是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形解答．

解答 证明：连接AO，CO．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAO=∠GCO，
在△EAO和△CGO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠GCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COG}\end{array}\right.$，
∴△EAO≌△CGO（ASA），
∴OE=OG，
同理可得OH=OF
又∵HF⊥EG，
∴四边形EFGH是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟记性质并求出三角形全等从而得到对角线被互相平分是解题的关键．