Question

1．已知：正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，BG⊥DE于点G，交DC于F，连接GC．
（1）求证：BF=DE；
（2）求∠CGE的度数；
（3）已知：DG=2，GE=3，求线段AG的长．

Answer 1

分析 （1）根据ASA证明△BCG≌△DCE，即可得出结论．
（2）如图1中，连接EF．只要证明E、C、F、G四点共圆，即可得∠CGE=∠CFE=45°．
（3）如图2中，作GM⊥CD于M，GN⊥AD于N．则四边形GMDN是矩形．设CD=a，CE=b，构建方程组即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
∴∠CDE+∠E=90°，
∵BF⊥DE，
∴∠BFE=90°，
∴∠CBF+∠E=90°，
∴∠CBF=∠CDE，
在△BCF和△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CDE}\\{BC=CD}\\{∠BCM=∠DCE}\end{array}\right.$
∴△BCF≌△DCE（ASA），
∴BF=DE；

（2）如图1中，连接EF．

∵△BCF≌△DCE，
∴CF=CE，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∵∠FCE+∠EGF=180°，
∴E、C、F、G四点共圆，
∴∠CGE=∠CFE=45°．

（3）如图2中，作GM⊥CD于M，GN⊥AD于N．则四边形GMDN是矩形．设CD=a，CE=b，

∵∠FDG=∠CDE，∠FGD=∠DCE，
∴△DGF∽△DCE，
∴$\frac{DG}{DC}$=$\frac{DF}{DE}$，
∴$\frac{2}{a}$=$\frac{a-b}{5}$，
∴a（a-b）=10     ①
∵a²+b²=25     ②
由①②可得a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，
∵MG∥CE，
∴$\frac{MG}{CE}$=$\frac{DG}{DE}$=$\frac{DM}{DC}$，
∴MG=ND=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，MD=GN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△AGN中，AG=$\sqrt{A{N}^{2}+G{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{12\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{4\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆、平行线分线段成比例定理、勾股定理、二元一次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．