Question

5．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD的延长线，垂足为E，如图1

（1）求证：AD•CD=BD•DE；
（2）若BD是边AC的中线，如图2，求$\frac{BD}{CE}$的值；
（3）如图3，连接AE．若AE=EC，求$\frac{BC}{CD}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接判断出△ABD∽△ECD，即可得出结论；
（2）先设AB=AC=2a，CD=a，则BC=$\sqrt{2}$a，AD=a．求出BD，而△BAD∽△CED，得出$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{CE}$，代入求出CE即可解决问题．
（2）如图3，延长CE、BA相交于点F．只要证明△BEC≌△BEF，推出CE=EF，CF=2CE，由ABD≌△ACF，推出BD=CF，即可解决问题．

解答 解：（1）∵CE⊥BD，
∴∠A=∠E=90°，
∵∠ADB=∠EDC，
∴△BAD∽△CED，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{BD}{CD}$，
∴AD•CD=BD•DE；

（2）设CD=AD=a，则AB=AC=2a．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=$\sqrt{5}$a，
由（1）知，△BAD∽△CED，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{CE}$，
∴$\frac{\sqrt{5}a}{a}=\frac{2a}{CE}$，
解得：CE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
∴$\frac{BD}{CE}$=$\frac{\sqrt{5}a}{\frac{2\sqrt{5}}{5}a}$=$\frac{5}{2}$；

（3）如图3，延长CE、BA相交于点F．

∵BE是∠ABC的角平分线，且BE⊥CF
在△BEC和△BEF中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=CE}\\{∠BEF=∠BEC}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△BEF，
∴CE=EF，
∴CF=2CE
又∵∠ABD+∠ADB=∠CDE+∠ACF=90°，
且∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD=∠ACF
∵AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，
在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠ACF}\\{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD=CF，
∴BD=2CE，
∴$\frac{BD}{CE}$=2．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质、三角形中线、角平分线的定义、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．