Question

7．根据条件求二次函数的解析式．
（1）二次函数的图象经过点（-1，0），（3，0），且最大值是3；
（2）已知抛物线过点A（-1，0），B（0，6），对称轴为直线x=1．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的对称性得到抛物线的顶点坐标为（1，3），则设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把顶点坐标代入求出a即可；
（2）因为对称轴是直线x=1，所以得到点（-1，0）的对称点是（3，0），因此利用交点式y=a（x-x₁）（x-x₂），求出解析式．

解答 解：（1）∵二次函数的图象经过点（-1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
而函数的最大值是3，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（1，3）代入得a•2•（-2）=3，解得a=-$\frac{3}{4}$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{3}{4}$（x+1）（x-3），即y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{4}$；

（2）解：∵抛物线对称轴是直线x=1且经过点A（-1，0），
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂）（a≠0），
即：y=a（x+1）（x-3），
把B（0，6）代入得：6=-3a，
∴a=-2．
∴抛物线的解析式为：y=-2x²+4x+6．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．