Question

15．如图，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，点M是AC上任意一点，ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，求证：△OEF是等腰三角形．

Answer 1

分析 由正方形ABCD中，ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，易得四边形BEMF是矩形，△CFM是等腰直角三角形，继而证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠ABC=90°，
∵ME⊥AB，MF⊥BC，
∴∠MEB=∠MFB=90°，
∴四边形BEMF是矩形，△CFM是等腰直角三角形，
∴BE=FM，FC=FM，
∴BE=CF，
在△OBE和△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OBE=∠OCF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE=OF，
即△OEF是等腰三角形．

点评 此题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得四边形BEMF是矩形，△CFM是等腰直角三角形是关键．