认真阅读下面的材料.完成有关问题材料:在学习绝对值时.我们知道了绝对值的几何含义.如|5-3|表示5.3在数轴上对应的两点之间的距离,|5+3|=|5-(-3)|.所以|5+3|表示5.-3在数轴上对应的两点之间的距离,|5|=|5-0|.所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地.点A.B.C在数轴上分别表示有理数x.-2.1.那么A到B的距离与A到C的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．认真阅读下面的材料，完成有关问题
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5-0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．
一般地，点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、-2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x-1|（用含绝对值的式子表示）．
（2）利用数轴探究：
①满足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是-2，4．
②|x-3|+|x+1|的最小值是4．
（3）求|x-3|+|x+1|+|x-2|的最小值以及取最小值时x的值．

分析（1）根据两点间的距离公式，可得答案；
（2）①根据两点间的距离公式，点在线段上，即可解答；
②为x为有理数，所以要分类讨论x-1与x+3的正负，再去掉绝对值符号再计算；
（3）|x-3|+|x-2|+|x+1|=（|x-3|+|x+1|）+|x-2|，根据问题（2）中的探究②可知，要使|x-3|+|x+1|的值最小，x的值只要取-1到3之间（包括-1、3）的任意一个数，要使|x-2|的值最小，x应取2，显然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式计算即可．

解答解：（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x-1|，故答案为：|x+2|+|x-1|；
（2）①根据数轴可得，满足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是-2，4，故答案为：-2，4；
②：因为x为有理数，就是说x可以为正数，也可以为负数，也可以为0，所以要分情况讨论．
当x＜-1时，x+1＜0，x-3＜0，所以|x+1|+|x-3|=-（x+1）-（x-3）=-2x+2＞4；
当-1≤x＜3时，x+1≥0，x-3＜0，所以|x+1|+|x-3|=（x+1）-（x-3）=4；
当x≥3时，x+1＞0，x+3≥0，所以|x-3|+|x+1|=（x-3）+（x+1）=2x+2≥4；
综上所述，所以|x-1|+|x+3|的最小值是4．
故答案为：4．
（3）由分析可知，
当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4．

点评本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．