Question

14．从三角形一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．
（1）如图，在△ABC中，AD为角平分线，∠B=50°，∠C=30°，求证：AD为△ABC的优美线．
（2）在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的优美线，且△ABD是以AB为腰的等腰三角形，求∠BAC的度数．
（3）在△ABC中，AB=4，AC=2，AD是△ABC的优美线，且△ABD是等腰三角形，求优美线AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的优美线的定义，只要证明△ABD是等腰三角形，△CAD∽△CBA即可解决问题．
（2）如图2中，分两种情形讨论求解①若AB=AD，△CAD∽△CBA，则∠B=∠ADB=∠CAD，则AC∥BC，这与△ABC这个条件矛盾；②若AB=BD，△CAD∽△CBA；
（3）如图3中，分三种情形讨论①若AD=BD，△CAD∽△CBA，则$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，设BD=AD=x，CD=y，可得$\frac{x}{4}$=$\frac{y}{2}$=$\frac{2}{x+y}$，解方程即可；②若AB=AD=4，由$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，设BD=AD=x，CD=y，可得$\frac{x}{4}$=$\frac{y}{2}$=$\frac{2}{4+y}$，解方程即可；③若AB=AD，显然不可能；

解答 解：（1）如图1中，

∵∠B=50°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=50°，
∴∠B=∠BAD=50°，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形，
∵∠C=∠C，∠DAC=∠B=50°，
∴△CAD∽△CBA，
∴线段AD是△ABC的优美线．

（2）如图2中，

若AB=AD，△CAD∽△CBA，则∠B=∠ADB=∠CAD，则AC∥BC，这与△ABC这个条件矛盾；
若AB=BD，△CAD∽△CBA，∠B=46°，
∴∠BAD=∠BDA=67°，
∵∠CAD=∠B=46°，
∴∠BAC=67°+46°=113°．

（3）如图3中，

若AD=BD，△CAD∽△CBA，
则$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，设BD=AD=x，CD=y，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{y}{2}$=$\frac{2}{x+y}$，
解得x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
若AB=AD=4，由$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，设BD=AD=x，CD=y，
可得$\frac{x}{4}$=$\frac{y}{2}$=$\frac{2}{4+y}$，解得y=-2+2$\sqrt{2}$，x=4$\sqrt{2}$-4（负根已经舍弃），
∴AD=4$\sqrt{2}$-4．
若AB=AD，显然不可能，
综上所述，AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或4$\sqrt{2}$-4．

点评 本题考查相似三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．