Question

4．如图，正方形OABC的边长为2，点A在x轴上，点C在y轴上，函数y=-$\frac{2}{3}$x²+bx+c的图象经过点B和点C，直线CA交抛物线于点P，PQ⊥x轴于点Q．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）x取何值时y＞0？
（3）求$\frac{CA}{AP}$．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可求得B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可求得抛物线与x轴的交点，结合抛物线可求得x的取值范围；
（3）由A、C坐标可求得直线AC的解析式，联立直线AC与抛物线的解析式可求得P点坐标，从而可求得PQ的长，又由△AOC∽△AQP，利用相似三角形的性质可求得答案．

解答 解：
（1）∵正方形OABC的边长为2，
∴B（2，2），C（0，2），
把B、C的坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}×{2}^{2}+2b+c=2}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{4}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2；

（2）在y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2中，令y=0可得0=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2，解得x=-1或x=3，
∵抛物线开口向下，
∴当-1＜x＜3时，y＞0；

（3）∵A（2，0），C（0，2），
∴直线AC的解析式为y=-x+2，
联立直线AC与抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{2}}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴P点坐标为（$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴AQ=PQ=$\frac{3}{2}$，
∴△APQ是等腰直角三角形，△AOC为等腰直角三角形，
∴CA=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$，AP=$\sqrt{2}$AQ=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CA}{AP}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$$\frac{4}{3}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、正方形的性质、一元二次方程、函数图象的交点、勾股定理、方程思想及数形结合思想等知识．在（1）中求得B、C的坐标是解题的关键，在（2）中求得抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键，在（3）中求得P点坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．