Question

3．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在线段BC上，点E在CB的延长线上，∠EAD=45°．
（1）求证：△EAD∽△ECA；
（2）若∠AED=75°，求证：DE=2CD；
（3）过C作CF⊥BC交AD延长线于F，连EF，若P、Q两点分别同时从B点出发，以相同的速度沿B→E→F和B→C→F运动，问点P、点Q谁先到达，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明．
（2）如图2中，作AM⊥FC交FC的延长线于M，在MC上截取MN=EB，连接AN．只要证明△ABE≌△AMN，推出∠EAB=∠MAN，AE=AN，推出△FAE≌△FAN，推出∠AFE=∠AFN=30°即可解决问题．
（3）点P与点Q同时到达目的地．只要证明BE+EF=BC+CF即可．

解答 （1）证明：如图1中，

∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，∵∠EAD=45°，
∴∠EAD=∠ACE，∵∠AED=∠CEA，
∴△EAD∽△ECA；

（2）证明：如图2中，作AM⊥FC交FC的延长线于M，在MC上截取MN=EB，连接AN．

∵CF⊥CB，
∴∠ABC=∠BCM=∠M=90°，
∴四边形ABCM是矩形，
∵BA=BC，
∴四边形ABCM是正方形，
∵AB=AM，∠ABE=∠M，EB=MN，
∴△ABE≌△AMN，
∴∠EAB=∠MAN，AE=AN
∵∠EAD=45°，
∴∠EAB+∠BAD=∠MAN+∠BAD=45°，
∵∠MAB=90°，
∴∠FAN=45°=∠FAE，∵FA=FA，AE=AN，
∴△FAE≌△FAN，
∴∠AFE=∠AFN，
∵∠AED=75°，∠EAD=45°，
∴∠ADE=∠FDC=60°，∵∠DCF=90°，
∴∠AFE=∠AFC=30°，
∴DF=2CD，
∵∠FDC=∠DEF+∠DFE=60°，
∴∠DEF=∠DFE=30°，
∴DE=DF=2CD，
即DE=2CD；

（3）解：结论：点P与点Q同时到达目的地．理由如下：
如图2中，∵△FAE≌△FAN，
∴EF=BN，∵BE=MN，
∴EB+EF=MN+FN=FM，BC+CF=CM+CF=FM，
∴BE+EF=BC+CF，
∴若P、Q两点分别同时从B点出发，以相同的速度沿B→E→F和B→C→F运动，点P与点Q同时到达目的地．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质．正方形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．