Question

19．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA=4，OC=3．点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE，当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是多少？

Answer 1

分析 过点D作DG⊥OA，过点E作HE⊥DG．先证明△HED≌△GDA，从而得到HE=DG=3，HD=AG．设D（a，3），则DC=a，DH=AG=4-a，则E（a+3，7-a），依据两点间的距离公式可得到OE=$\sqrt{（a+3）^{2}+（7-a）^{2}}$，最后利用配方法求得被开方数的最小值即可．

解答 解：如图所示：过点D作DG⊥OA，过点E作HE⊥DG．

∵DG⊥OA，HE⊥DG，
∴∠EHD=∠DGA=90°．
∴∠GDA+∠DAG=90°．
∵四边形ADEF为正方形，
∴DE=AD，∠HDE+∠GDA=90°．
∴∠HDE=∠GAD．
在△HED和△GDA中$\left\{\begin{array}{l}{∠HDE=∠GAD}\\{∠EHD=∠DGA}\\{DE=AD}\end{array}\right.$，
∴△HED≌△GDA．
∴HE=DG=3，HD=AG．
设D（a，3），则DC=a，DH=AG=4-a．
∴E（a+3，7-a）．
∴OE=$\sqrt{（a+3）^{2}+（7-a）^{2}}$=$\sqrt{2（a-2）^{2}+50}$．
当a=2时，OE有最小值，最小值为5$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是正方形的性质、二次函数的最值、全等三角形的性质和判定，得到点E的坐标是解题的关键．