Question

15．Rt△ABC中，BC为较长的直角边，它是较短直角边长的两倍，把△ABC放入直角坐标系，若点B，点C的坐标分别为（1，2），（3，4），则点A的坐标为A₁（2，5），A₂（4，3），A₃（0，3），A₄（2，1）．

Answer 1

分析 由点B，点C的坐标分别为（1，2），（3，4），利用两点间的距离公式求出BC=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．设点A的坐标为（x，y），分两种情况进行讨论：①如果∠ACB=90°，那么AC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{10}$，依此列出方程组$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-4）^{2}=2}\\{（x-1）^{2}+（y-2）^{2}=10}\end{array}\right.$；②如果∠ABC=90°，那么AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{10}$，依此列出方程组$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y-2）^{2}=2}\\{（x-3）^{2}+（y-4）^{2}=10}\end{array}\right.$，解方程组即可求出点A的坐标．

解答 解：∵点B，点C的坐标分别为（1，2），（3，4），
∴BC=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵Rt△ABC中，BC为较长的直角边，它是较短直角边长的两倍，
∴较短直角边长是$\sqrt{2}$，斜边长是$\sqrt{8+2}$=$\sqrt{10}$．
设点A的坐标为（x，y），BC为直角边时，分两种情况：
①如果∠ACB=90°，那么AC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{10}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-4）^{2}=2}\\{（x-1）^{2}+（y-2）^{2}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴A₁（2，5），A₂（4，3）；
②如果∠ABC=90°，那么AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{10}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y-2）^{2}=2}\\{（x-3）^{2}+（y-4）^{2}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴A₃（0，3），A₄（2，1）；
即点A的坐标为A₁（2，5），A₂（4，3），A₃（0，3），A₄（2，1）．
故答案为A₁（2，5），A₂（4，3），A₃（0，3），A₄（2，1）．

点评 本题考查了勾股定理，两点间的距离公式，二元二次方程组的解法，坐标与图形性质，分类讨论是解题的关键．