Question

2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB于E，△BDC为等腰直角三角形，∠BDC=90°，BD=CD，CE与BD交于F，连接AF，求证：CF=AB+AF．

Answer 1

分析 作DH⊥AD交CE于H，如图，由AD∥BC得到DH⊥BC，根据等腰直角三角形的性质易得∠3=∠4=∠CDH=45°，CD=CB，则可证明△CDH≌△BDA得到CH=BA，DH=DA，接着证明△DHF≌△DAF得到FH=AF，于是有CF=CH+FH=AB+AF．

解答 证明：作DH⊥AD交CE于H，如图，
∵AD∥BC，
∴DH⊥BC，
∵△BDC为等腰直角三角形，
∴∠3=45°，BD=CD，
∴∠4=45°，
∴∠3=∠4=∠CDH，
∵CE⊥AB，
∴∠2+∠BFE=90°，
而∠1+∠DFC=90°，∠BFE=∠CFD，
∴∠1=∠2，
在△CDH和△BDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{CD=BA}&{\;}\\{∠CDH=∠A}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDH≌△BDA（ASA），
∴CH=BA，DH=DA，
在△DHF和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DH=DA}&{\;}\\{∠3=∠4}&{\;}\\{DF=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DHF≌△DAF（SAS），
∴FH=AF，
∴CF=CH+FH=AB+AF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．把CF分成两段，分别证明它们与AB和AF相等．