Question

17．如图，四边形ADBC中，∠D、∠C为直角，G、I分别是△ABC、△ABD的内心，延长AG、BG、AI、BI交四边于Q、E、P、F，如果四边形GAIB的面积为17，求六边形EAFPBQ的面积．

Answer 1

分析 如图，在线段AB上分别截取AM=AE，BN=BQ，连接GM、GN，作QH⊥BE于H，ND⊥GM于D．只要证明六边形EAFPBQ的面积=2•四边形GAIB的面积即可解决问题．

解答 解：如图，在线段AB上分别截取AM=AE，BN=BQ，连接GM、GN，作QH⊥BE于H，ND⊥GM于D．

在△AGE和△AGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{∠GAE=∠GAM}\\{AE=AM}\end{array}\right.$，
∴△GAE≌△GAM，
∴GE=GM，∠AGE=∠AGM，
同理可证△GBQ≌△GBN，可得GQ=GN，
∵∠C=90°，∠GAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠GBA=$\frac{1}{2}$∠CBA，
∴∠QCB=∠AGE=∠GAB+∠GBA=45°，
∴∠EGM=∠QGN=90°，
∴∠EGQ+∠MGN=180°，∵∠EGQ+∠QGB=180°，
∴∠QGH=∠MGN，
∵S_△EGQ=$\frac{1}{2}$•EG•QG•sin∠QGH，S_△MNG=$\frac{1}{2}$•GM•GN•sin∠MGN，
∴S_△EGQ=S_△MGN，S_△AMG=S_△AGE，S_△GBN=S_△GBQ，
∴S_△ABG=S_△AEG+S_△EQG+S_△GBQ，
同理可证S_△ABI=S_△AIF+S_△IPF+S_△BIP，
∴六边形EAFPBQ的面积=2•四边形GAIB的面积=34．

点评 本题考查三角形的内心，三角形的面积，四边形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题吗，属于中考压轴题．