Question

2．如图，四边形ABCD是一个菱形绿草地，其周长为40$\sqrt{2}$m，∠ABC=120°，在其内部有一个矩形花坛EFGH，其四个顶点恰好在菱形ABCD各边中点，现准备在花坛中种植茉莉花，其单价为30元/²，则需投资资金多少元？（$\sqrt{3}$取1.732）

Answer 1

分析 根据菱形的性质，先求出菱形的一条对角线，由三角形的中位线定理，求出矩形的一条边，同理求得另一边，再求出矩形的面积，最后求得投资资金．

解答 解：解：如图，连接AC、BD，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=180°-120°=60°，
又∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∵菱形的周长是40 $\sqrt{2}$m，
∴AB=40 $\sqrt{2}$÷4=10 $\sqrt{2}$m，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=5 $\sqrt{2}$m，
OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（10\sqrt{2}）^{2}-（5\sqrt{2}）^{2}}$=5 $\sqrt{6}$m，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD=OB=5 $\sqrt{2}$m，
EF=$\frac{1}{2}$AC=OA=5 $\sqrt{6}$m，
所以，S_矩形EFGH=5 $\sqrt{6}$×5 $\sqrt{2}$=50 $\sqrt{3}$m²，
∵单价是30元/m²，
∴需投入资金30×50 $\sqrt{3}$=1500 $\sqrt{3}$≈2598元．

点评 本题考查了二次根式的应用，勾股定理，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理是解题的关键．