Question

如图：直线y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B，点P是直线AB上的一点，Q是双曲线y=

k

x

(k≠0)上的一点，若O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，请在图中找出二个符合条件的点Q，则点Q的坐标

 

、

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：应用题

分析：当双曲线y=

k

x

(k≠0)在一、三象限时，P、B两点重合，Q点为正方形BOAQ的一个顶点，图形符合题意；
当双曲线y=

k

x

(k≠0)在二、四象限时，作OQ∥AB，且OQ=OA=6，再作PQ∥OA交直线AB于P点，图形符合题意．

解答：解：令y=0得x=4，令x=0得y=4，可加A，B两点坐标分别为：A（4，0），B（0，4）；
∵P在AB上，
∴P在直线y=-x+4上，这样可设P点坐标为（x，-x+4）；
（1）根据OQAP为菱形，则|OP|=|AP|，（菱形四个边相等的性质）；
由两点距离公式得：|OP|=

(x-0)2+(-x+6-0)2

=

2x2-8x+16

|AP|=

(x-4)2+(-x+4)2

=

2(x-2)2

则2x²-8x+16=2（x-4）²，
解得：x=2；
于是点P的坐标为：（2，2）；
设Q坐标（xq，yq）又由于OA的中点坐标为：（2，0）；PQ的中点的坐标为：（

xq+2

2

，

yq+2

2

），
根据菱形的性质OQ的中点即为PA的中点，
则2=

xq+2

2

，0=

yq+2

2

解得：x_q=2，y_q=-2
故此时点Q坐标为：（2，-2）；

（2）同理，OAQP为菱形时，|OA|=|OP|

(4-0)2+(0-0)2

=

(x-0)2+(-4+x-0)2

，
解得：x=0或x=4；
P点坐标为（0，4）或（4，0）（当P点为（4，0）与A点重合，无法组成菱形PAQP所以舍去）
此时：O（0，0）A（4，0）Q（xq，yq）P（0，4）
OQ中点即为AP中点有：x_q=4，y_q=4，
Q点坐标为：（4，4）；

（3）同理，OAPQ为菱形时，|OP|=|AP|

(4-0)2+(0-0)2

=

(x-4)2+(-x+4-0)2

解得x=4+2

2

或x=4-2

2

P点坐标为：（4+2

2

，-2

2

）或（4-2

2

，2

2

）
此时O（0，0），A（4，0），P（4+2

2

，-2

2

）或（4-2

2

，2

2

），Q（xq，yq）
OP中点即为AQ中点，可以求出：
Q点坐标为：（2

2

，-2

2

）或（-2

2

，2

2

），
故答案为：（2

2

，2

2

）、（2

2

，-2

2

）任选一个，（4，4）、（2，-2）任选一个．

点评：本题考查了反比例函数的综合应用，理解菱形的四边相等，对边平行，是判断本题的关键，需要根据双曲线所在的象限分类解题，明确正方形属于菱形的特殊情况．