Question

17．如图①，已知l₁∥l₂，l₃与l₁和l₂交于A、B两点，点P在直线l₃上运动（但不与A、B重合），点C、点D是l₁和l₂上的定点．
（1）若点P在线段AB之间运动，试探求∠1，∠2，∠3的关系；
（2）若点P在线段AB之外运动，画图，并探求∠1，∠2，∠3的关系，请选一种结论进行证明．

Answer 1

分析 （1）作PE∥AC，如图1，由于l₁∥l₂，则PE∥BD，根据平行线的性质得∠1=∠EPC，∠2=∠EPD，所以∠1+∠2=∠3；
（2）∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化，它们的关系为∠1+∠2=∠3；与（1）的证明方法一样可得∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3．

解答 解：（1）∠1+∠2=∠3．理由如下：
作PE∥AC，如图1，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥BD，
∴∠1=∠EPC，∠2=∠EPD，
∴∠1+∠2=∠3；
（2）∠1，∠2，∠CPD之间的关系不发生变化
仍是：∠CPD=∠1+∠2；
作PE∥AC，如图1，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥BD，
∴∠1=∠EPC，∠2=∠EPD，
∴∠1+∠2=∠3，即∠CPD=∠1+∠2；
当P点在A的外侧时，如图a，过P作PF∥l₁，交l₄于F，
∴∠1=∠FPC．
∵l₁∥l₄，
∴PF∥l₂，
∴∠2=∠FPD
∵∠CPD=∠FPD-∠FPC
∴∠CPD=∠2-∠1．
当P点在B的外侧时，如图b，过P作PG∥l₂，交l₄于G，
∴∠2=∠GPD
∵l₁∥l₂，
∴PG∥l₁，
∴∠1=∠CPG
∵∠CPD=∠CPG-∠GPD
∴∠CPD=∠1-∠2．

点评 本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．