Question

7．（1）若方程x²+（2k-1）x+k²-1=0的两实数根的平方和等于9，求k的值．
（2）若不等式ax²+bx+c＜0（a≠0）的解是x＜2或x＞3，解不等式bx²+ax²c＞0．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程根与系数的关系，求得方程两根的和与两根的积，根据x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，即可得到关于k的方程，从而求得k的值．
（2）由不等式ax²+bx+c＜0的解集为x＜2或x＞3，可得2，3为方程ax²+bx+c=0的两根，利用根与系数的关系得到系数的比，变形后得到b=-5a，c=6a．由此求出方程bx²+ax+c的两根，则不等式bx²+ax+c＞0的解集可求．

解答 解：（1）设方程两个根为x₁和x₂，由于实数根的平方和等于9，
所以x₁²+x₂²=9，即x₁²+x₂²=x₁²+2x₁x₂+x₂²-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9，
又因为x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=1-2k，x₁x₂=$\frac{c}{a}$=k²-1，
代入上式得（1-2k）²-2（k²-1）=9，即k²-2k-3=0，解得k=-1或k=3．
当k=3时，x²+5x+8=0中，△=25-32=-7＜0，方程无解，
故k=-1．
（2）∵不等式ax²+bx+c＜0的解集为x＜2或x＞3，
∴2，3为方程ax²+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．
∴-$\frac{b}{a}$=2+3，$\frac{c}{a}$=2×3，
则b=-5a，c=6a．
代入不等式bx²+ax+c＞0可得-5ax²+ax+6a＞0，
∵a＜0．
∴-5x²+x+6＜0，即-（x+1）（5x-6）＜0，
解得x＜-1，x＞$\frac{6}{5}$，
即不等式bx²+ax+c＞0的解集是x＜-1，x＞$\frac{6}{5}$．

点评 （1）考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
（2）考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力．