Question

如图，在直角坐标系中有Rt△ABC，两直角边AB=3，AC=4，且A，C两点分别在x轴、y轴上运动．
（1）求当BC与y轴垂直时过点B的反比例函数解析式；
（2）求点O与点B间的最大距离为多少？

Answer 1

考点：勾股定理,反比例函数图象上点的坐标特征,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）先在Rt△ABC中由勾股定理求出BC=5，即B点的横坐标为5，再过A点作△ABC的高AD，根据△ABC的面积求出AD=

12

5

，由于两平行线之间的距离处处相等，则B点的纵坐标为

12

5

，则点B的反比例函数解析式可求；
（2）取AC的中点E，当O、E、B三点共线时，OB最大．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OE=

1

2

AC=2，在Rt△ABE中由勾股定理求出BE，则OB=OE+BE．

解答：解：（1）∵Rt△ABC中，两直角边AB=3，AC=4，
∴BC=5．
过A点作△ABC的高AD．
∵△ABC的面积=

1

2

BC•AD=

1

2

AB•AC，
∴AD=

AB•AC

BC

=

12

5

，
∴B点坐标为（5，

12

5

），
∴过B点的反比例函数解析式为y=

12

x

；

（2）取AC的中点E，当O、E、B三点共线时，OB最大，
则OE=

1

2

AC=2．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=

AE2+AB2

=

22+32

=

13

，
所以OB=OE+BE=2+

13

．
即点O与点B间的最大距离为2+

13

．

点评：本题考查勾股定理，三角形的面积，反比例函数解析式的确定，直角三角形的性质，有一定难度．（2）中得到O、E、B三点共线时，OB最大是解题的关键．