Question

如图，已知在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的直角腰在y轴上，底边OC在x轴上，且∠BCO=45°，点B的坐标是（3，4）．过点C作直线l∥y轴．以动点P为圆心，以1个单位长半径的⊙P从点O出发，以每秒1个单位长的速度沿O-A-B的路线向点B运动；同时直线l从点C出发，以相同速度向左平移，在平移的过程中，直线l交x轴于点D，交线段CB或线段BO于点E，点P到达点B时，点P和直线l都停止运动，在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
（1）求点A和点C的坐标；
（2）当t为何值时，⊙P与BC所在的直线相切？
（3）当t为何值是，以B、P、D为顶点的三角形的面积为8？
（4）当P在OA上运动时（0≤t＜4）是否存在以B、P、E为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）先根据等腰梯形的性质求出A的坐标，再过点B作BE⊥x轴于点E，则BE=4，根据等腰直角三角形的性质求出CE的长，根据OC=OE+EC即可得出C点坐标；
（2）设经过t秒，⊙P与BC所在的直线相切于点F，连接PF，根据勾股定理得出FB的长，再由t=OA+AB-PB即可得出结论；
（3）当P在OA上运动时，根据S_△PBD=S_梯形OABC-S_△APB-S_△DPO-S_△BCD=8可得出关于t的解析式，求出t的值；当P在AB上运动，根据S_△PBD=

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2

×（7-t）×4=8即可得出t的值；
（4）先根据两点间的距离公式用t表示出BP，BE，PE的值，再根据BP=BE；BP=PE；BE=PE三种情况进行分类讨论．

解答：解：（1）∵四边形OABC是直角梯形，∠AOC=90°，B（3，4），
∴A（0，4），
过点B作BE⊥x轴于点E，则BE=4，
∵∠BCO=45°，
∴OC=BE=4，
∴OC=OE+EC=3+4=7，
∴C（7，0）；

（2）设经过t秒，⊙P与BC所在的直线相切于点F，如图2，连接PF，则∠PFB=90°．
∵AB∥OC，∠BCO=45°，
∴∠FBP=45°，即：PF=FB=1，
由勾股定理可得：PB=

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∴t=OA+AB-PB=（7-

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）秒；

（3）如图3，当P在OA上运动时，0≤t＜4．
由S_△PBD=S_梯形OABC-S_△APB-S_△DPO-S_△BCD=8，得

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×（3+7）×4-

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×3×（4-t）-

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t（7-t）-

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t×4=8．
整理，得t²-8t+12=0，解之得t₁=2，t₂=6（舍）
如图4，当P在AB上运动，4≤t＜7．
由S_△PBD=

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2

×（7-t）×4=8，得t=3（舍）
∴当t=2时，以B、P、D为顶点的三角形的面积为8．

（4）存在，如图5，当P在OA上运动时，0≤t＜4．
∴BP=

(4-t)2+32

，BE=4

2

-

2

t，PE=7-t
当BP=BE时，（4-t）²+3²=2（4-t）²，
整理得，t²-8t+7=0．
∴t=1，t=7（舍）
当BP=PE时，（4-t）²+3²=（7-t）²，
整理得，6t=24．
∴t=4（舍）
当BE=PE时，2（4-t）²=（7-t）²，
整理得，t²-2t-17=0，
∴t=1±3

2

（舍）．即：当t=1时，以B、P、E为顶点的三角形是等腰三角形．

点评：本题考查的是圆的综合题，此题涉及到直角梯形的性质、等腰直角三角形的性质、两点间的距离公式等知识，难度适中．