Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点．
（1）利用尺规作出∠DAC的平分线AM，连接BE并延长交AM于点F，（要求在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接CF，证明四边形ABCF是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的做法作图即可；
（2）首先证明AF∥BC，进而可得∠AFE=∠CBE，然后再证明△AEF≌△CEB，根据全等三角形的性质可得AF=BC，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论．

解答 解：（1）如图所示：

（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AM平分∠DAC，
∴∠DAF=∠FAC=$\frac{1}{2}$∠DAC，
∵∠ABC+∠ACB=∠DAC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$∠DAC，
∴∠DAF=∠ABC，
∴AF∥BC，
∴∠AFE=∠CBE，
∵E是AC的中点，
∴AE=EC，
在△AEF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠EBC}\\{∠AEF=∠CEB}\\{AE=CE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CEB（AAS），
∴AF=BC，
∴四边形ABCF是平行四边形．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．