Question

14．设x₁，x₂是关于x的方程x²-（m-1）x-m=0（m≠0）的两个根，且满足$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{2}{3}$=0，求m的值．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到x₁+x₂=m-1，x₁x₂=-m，再变形$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{2}{3}$=0得到$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{2}{3}$=0，则$\frac{m-1}{-m}$+$\frac{2}{3}$=0，解得m=3，然后根据判别式的意义确定m的值．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=m-1，x₁x₂=-m，
∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{2}{3}$=0，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{2}{3}$=0，
∴$\frac{m-1}{-m}$+$\frac{2}{3}$=0，解得m=3，
而m=3时，△＞0，
∴m的值为3．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．