Question

如图，已知四边形ABCD中，∠D=∠C=90°，E为DC上一点，AE⊥BE，AE平分∠DAB，求证：以DC为直径的圆与AB相切．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：作EF⊥AB于F，如图，由∠D=∠C=90°得到AD∥BC，根据平行线性质得∠BAD+∠ABC=90°，由于AE⊥BE，根据三角形内角和定理得到∠BAE+∠ABE=90°，则∠DAE+∠CBE=90°，根据AE平分∠DAB，得到∠BAE=∠DAE，ED=EF，所以∠ABE=∠CBE，再根据角平分线定理得到EF=EC，即有EF=ED=EC，然后根据切线的判定方法得到以DC为直径的圆与AB相切．

解答：证明：作EF⊥AB于F，如图，
∵∠D=∠C=90°，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=90°，
∵AE⊥BE，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠DAE+∠CBE=90°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=∠DAE，ED=EF，
∴∠ABE=∠CBE，
∴BE平分∠ABC，
∴EF=EC，
∴EF=ED=EC，
而EF⊥AB，
∴以DC为直径的圆与AB相切．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了角平分线定理．