Question

18．如图，AD、AC分别为⊙O的直径和弦，∠CAD=30°，B是AC上一点，BO⊥AD，垂足为O，BO=5，则CD的长为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 5$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 在Rt△ABO中，由∠AOB=90°、BO=5、∠BAO=30°即可求出AB、AO的长度，根据AD为⊙O的直径可得出∠ACD=90°=∠AOB，再结合∠BAO=∠DAC即可得出△ABO∽△ADC，根据相似三角形的性质即可得出$\frac{CD}{OB}=\frac{AD}{AB}$，代入数据求出CD，此题得解．

解答 解：在Rt△ABO中，∠AOB=90°，BO=5，∠BAO=30°，
∴AB=2BO=10，AO=$\sqrt{A{B}^{2}-B{O}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
∴AD=2AO=10$\sqrt{3}$．
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°=∠AOB，
又∵∠BAO=∠DAC，
∴△ABO∽△ADC，
∴$\frac{CD}{OB}=\frac{AD}{AB}$，
∴CD=$\frac{AD•OB}{AB}$=5$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，根据相似三角形的性质找出$\frac{CD}{OB}=\frac{AD}{AB}$是解题的关键．