题目内容
4．观察下列数，探索其中的规律：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$…
（1）填空：第8，9，10个分别是 $\frac{1}{8×9}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{9×10}$=$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$；
（2）第2016个数是$\frac{1}{2016×2017}$=$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$；
（3）第n个算式为：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（4）计算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{99×100}$．
分析 （1）由题意知连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差，据此可得；
（2）根据（1）中规律可得；
（3）根据（1）中规律可得；
（4）利用（1）中规律将个数拆开后两两抵消即可得．
解答 解：（1）第1个式子为$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，
第2个式子为：$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
第3个式子为：$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
第4个式子为：$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，
…
∴第8个式子为$\frac{1}{8×9}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$，
第9个式子为$\frac{1}{9×10}$=$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$，
第10个式子为$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$，
故答案为：$\frac{1}{8×9}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{9×10}$=$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$；
（2）由（1）知，第2016个数为$\frac{1}{2016×2017}$=$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$，
故答案为：$\frac{1}{2016×2017}$=$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$；
（3）第n个式子为$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故答案为：$\frac{1}{n（n+1）}$，$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（4）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$
=1-$\frac{1}{100}$
=$\frac{99}{100}$．
点评 本题主要考查数字的变化规律，根据题意得出连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差是解题的关键．
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如图，∠ABC的内部有一点E