Question

16．已知，关于x的一元二次方程x²+（k-1）x-k=0（其中k为常数）
（1）判断方程根的情况并说明理由；
（2）若0＜k＜1，设方程的两根分别为m，n（m＜n），求它的两个根m和n；
（3）在（2）的条件下，若直线y=kx+1与x轴交于点C，x轴上另两点A（m，0）、点B（n，0），试说明是否存在k的值，使这三点中相邻两点之间的距离相等？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出判别式的值即可判断．
（2）求出方程的两个根，根据题意即可解决问题．
（3）先求出A、B、C三点坐标，根据题意判断A、B、C的位置，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵△=（k-1）²+4k=k²-2k+1+4k=k²+2k+1=（k+1）²≥0，
∴方程有两个实数根．

（2）∵x²+（k-1）x-k=0，
∴（x+k）（x-1）=0，
∴x=-k或1，
∵0＜k＜1，设方程的两根分别为m，n（m＜n），
∴m=-k，n=1．

（3）存在．由题意A（-k，0），B（1，0），C（-$\frac{1}{k}$，0），
∵0＜k＜1，
∴-$\frac{1}{k}$＜-k＜1，
∵AC=AB，
∴-k-（-$\frac{1}{k}$）=1-（-k），
整理得2k²+k-1=0，
解得k=$\frac{1}{2}$或-1（舍弃），
∴当k=$\frac{1}{2}$时，A、B、C三点中相邻两点之间的距离相等．

点评 本题考查一元二次方程的根的判别式，方程的解等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．