Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=1，线段AD是BC边上的中线，将△ADC沿直线BC平移，使点D与点C重合，得到△FCE，显然四边形ADEF是等腰梯形，再将△FCE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α≤90°）．
（1）在旋转过程中，当∠ACE=150°时，求旋转角α的度数；
（2）请探究在旋转过程中，四边形ADEF是否依然是等腰梯形？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：旋转的性质,等腰梯形的性质,等腰梯形的判定

专题：

分析：（1）分两种情况：①点E和点D在直线AC两侧；②点E和点D在直线AC的同侧分别得出即可；
（2）四边形ADEF依然是等腰梯形，首先得出四边形ADCF是平行四边形，推出AF∥DC，即AF∥DE，求出∠ACD=60°，AD=DC，得出△ADC是等边三角形，推出△FCE是等边三角形，得出AD=FE即可；

解答：解：（1）在图①中，∵∠BAC=90°，∠B=30°，
∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．
在旋转过程中，分两种情况：
①当点E和点D在直线AC两侧时，如图②，
∵∠ACE=150°，
∴α=150°-120°=30°；
②当点E和点D在直线AC的同侧时，如备用图，
∵∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°，
∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°，
∴α=180°-∠DCE=90°．
∴旋转角α为30°或90°；
（2）四边形ADEF依然是等腰梯形，
理由如下：∵△ADC沿直线BC平移得到△FCE，
∴AD∥FC，且AD=FC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF∥DC，即AF∥DE，
∵∠BAC=90°，∠B=30°，
∴∠ACD=60°，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD=DC，
∴△ADC是等边三角形，
∵△ADC≌△FCE，
∴△FCE是等边三角形，
∴AD=FE，
∵AF≠DE，
∴四边形ADEF是等腰梯形．

点评：本题考查的知识点是等腰梯形的判定，平移的性质，旋转的旋转，等边三角形的性质和判定等，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，但有一定的难度．