Question

7．如图，A（-t，0）、B（0，t），其中t＞0，点C在OA上一点，OD⊥BC于点D，且∠BCO=45°+∠COD．
（1）求证：BC平分∠ABO；
（2）求$\frac{BC-2OD}{CD}$的值；
（3）若点P为第三象限内一动点，且∠APO=135°，试问AP和BP是否存在某种确定的位置关系？说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）分别证明：∠ABC=∠DOC，∠CBO=∠DOC即可．
（2）在BC上截DE=DO，证CE=OE=BE，则E为BC的中点，则BC=2EC=2（DE+DC）=2（OD+CD），代入化简即可，也可以用四点共圆去思考更加简单．

解答 （1）证明：如图1中，∵AO=BO=t，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠BCO=45°+∠COD=∠BAO+∠ABC，
∴∠COD=∠ABC，
∵OD⊥BC，
∴∠CDO=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠DOC=∠CBO，
∴∠ABC=∠CBO．
（2）解：中图1中，作DE=DO，
∵∠ODE=90°，
∴∠DEO=45°=∠EBO+∠EOB，
∵∠ABC=∠CBO=$\frac{1}{2}$∠ABO=22.5°，
∴∠EOB=∠EBO=22.5°，
∴EB=EO，
∵∠ECO=∠EOC=67.5°，
∴EC=EO，
∴BC=2EC=2（DE+DC）=2DO+2DC，
∴$\frac{BC-2DO}{DC}$=$\frac{2DC}{DC}$=2．
（3）结论：PB⊥AP，如图2，理由如下：
解：方法一：作OM⊥OP交PB于M，交AP的延长线于N，
∵∠APO=135°，
∴∠OPN=∠N=45°，
∴OP=ON，
∵∠AOB=∠PON=90°，
∴∠BOP=∠AON，
在△OBP和△OAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠BOP=∠AON}\\{OP=ON}\end{array}\right.$，
∴△BOP≌△AON，
∴∠BPO=∠N=45°，
∵∠OPN=45°，
∴∠BPN=∠BPO+∠OPN=90°，
∴BP⊥AP．
证法二：∵∠APO=135°，∠ABO=45°，
∴∠APO+∠ABO=180°，
∴A、P、O、B四点共圆，
∴∠APB=∠AOB=90°，
即BP⊥AP．

点评 本题考查等腰三角形性质、同角的余角相等、全等三角形的判定和性质等知识，通过添加辅助线构造特殊三角形是解决问题的关键．