Question

15．如图，△ABC的两条高BD，CE交于点F，延长CE到Q，使CQ=AB，在BD上截取BP=AC，连接AP．
求证：（1）AQ=AP；（2）AQ⊥AP．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义得到∠ADB=∠AEC=90°，得到∠ABD=∠ACQ=90°-∠BAC．推出△APB≌△QAC（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）通过△APB≌△QAC，得∠BAP=∠CQA，通过等量代换得∠BAP+∠QAE=90°即可得AP⊥AQ．

解答 证明：（1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABD=∠ACQ=90°-∠BAC．
∵BP=AC，CQ=AB，
在△APB和△QAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=AC}\\{∠ABD=∠ACQ}\\{CQ=AB}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△QAC（SAS），
∴AP=AQ，

（2）∵△APB≌△QAC，
∴∠BAP=∠CQA，
∵∠CQA+∠QAE=90°，
∴∠BAP+∠QAE=90°．
即AP⊥AQ．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形内角和定理的应用，解此题的关键是推出△APB≌△QAC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．