对于一个圆和一个正方形给出如下定义:若圆上存在到此正方形四条边距离都相等的点.则称这个圆是正方形的“等距圆如图1.在平面直角坐标系xOy中.正方形ABCD的顶点A的坐标为(2.4).顶点C.D在x轴上.且点C在点D的左侧．(1)当r=2$\sqrt{2}$时.在P1(0.2).P2.P3中可以成为正方形ABCD的“等距圆的圆心的是P2.P4,.则当⊙P的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．对于一个圆和一个正方形给出如下定义：若圆上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称这个圆是正方形的“等距圆”
如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．
（1）当r=2$\sqrt{2}$时，在P₁（0，2），P₂（-2，4），P₃（4$\sqrt{2}$，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P₂，P₄；
（2）当P点坐标为（-3，6），则当⊙P的半径r=5时，⊙P是正方形ABCD的“等距圆”．试判断此时⊙P与直线AC的位置关系？并说明理由．
（3）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上且点H在点E的上方．
①将正方形ABCD绕着点O旋转一周，在旋转的过程中，线段GF上没有一个点能称为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是0＜r＜2$\sqrt{10}$-2或r＞12；
②若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P的圆心P的坐标．

分析（1）连接AC和BD，交于点M，设⊙P的圆心坐标是（x，y），列出圆心到M的关系式，把P₁（0，2），P₂（-2，4），P₃（4$\sqrt{2}$，2）代入，看是否成立来判定；
（2）把点P的坐标代入（1）中圆的方程可以求得其半径；如答图2，找到正方形ABCD的中心E，根据点P、B、E的坐标推知这三点不共线，由直线与圆的位置关系进行解答；
（3）①连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E₁，交HD于E₂，当0＜r＜DT-DE₁时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE₂时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．据此求解．
②先求出△LIE为等腰直角三角形，得到L（0，5），进而得出△LOM为等腰直角三角形，设P（p，-p+5）据关系列出方程求了圆心的坐标．

解答解：（1）如答图1，连接AC和BD，交于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴M到正方形ABCD四条边距离都相等，
∴⊙P一定通过点M，
∵A（2，4）
∴M（0，2）
设⊙P的圆心坐标是（x，y），
∴r=2$\sqrt{2}$时，
∴x²+（y-2）²=（2$\sqrt{2}$）²，
即，x²+（y-2）²=8，
把P₁（0，2），P₂（-2，4），P₃（4$\sqrt{2}$，2）代入，只有P₂，P₄成立，
∴可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P₂，P₄．
故答案是：P₂，P₄．

（2）5，且⊙P与直线AC的位置关系是相交．理由如下：
把P点坐标（-3，6）代入x²+（y-2）²=（-3）²+（6-2）²=5²，则该圆的半径为5．
如答图2，设正方形ABCD的中心为E，则E（0，2）．
∵P点坐标为（-3，6），点B的坐标为（-2，4），
∴点P、B、E不在同一条直线上．
∵∠CEB=90°，
∴∠CEP≠90°，
∴点P到AC的距离必小于5，
∴⊙P与直线AC的位置关系是相交．

（3）①如答图3，连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E₁，交HD于E₂，
当0＜r＜DT-DE₁时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
∵HF所在的直线为：y=-x+8，
DT所在的直线为：y=x-2，
∴T（5，3），
∵D（2，0），
∴DT=$\sqrt{{3}^{2}+（5-2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵DE=DE₁
∴DT-DE₁=DT-DE=3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴当0＜r＜$\sqrt{2}$时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
当r＞HE₂时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
∵HE₂=HD+DE₂，DE₂=DE，
∴HE₂=HD+DE=$\sqrt{H{O}^{2}+O{D}^{2}}$+2$\sqrt{2}$=$\sqrt{{8}^{2}+{2}^{2}}$+2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{2}$，
∴当r＞2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{2}$时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
②∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，
∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I．
∴点P在线段EI的中垂线上．
∵A（2，4），正方形ABCD的边CD在x轴上；F（6，2），正方形EFGH的边HE在y轴上，
∴E（0，2），I（3，5）
∴∠IEH=45°，
设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，
∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，
∴L（0，5），
∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM
∴M（5，0），
∴P在直线y=-x+5上，
∴设P（p，-p+5）
过P作PQ⊥直线BC于Q，连结PE，
∵⊙P与BC所在直线相切，
∴PE=PQ，
∴p²+（-p+5-2）²=（p+2）²，
解得：p₁=5+2$\sqrt{5}$，p₂=5-2$\sqrt{5}$，
∴P₁（5+2$\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$），P₂（5-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$）．