Question

1．一次函数y=2x+2图象与x轴、y轴分别交于A、D两点，一次函数y=-2x+8与x轴交于B点，过D点作DC∥x轴，交直线y=-2x+8于点C．
（1）求S_{四边形ABCD}的值；
（2）如图，以DC为边作等边△DEC，点F是线段DC上（不包括端点D、C）一动点，作∠EFG=60°，CG平分△ECD的外角．求FC+CG的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意确定出A，D，B坐标，由DC与x轴平行得到C与D纵坐标相同，求出C的坐标，确定出CD的长，梯形ABCD上底为CD，下底为AB，高为OD，求出面积即可；
（2）根据题意画出图形，如图所示，过F作FM与CE平行，交DE于点M，可得出三角形DFM为等边三角形，进而确定ME=FC，再利用外角性质及角平分线定理得到一对角相等，利用等量代换得到一对角相等，利用AAS得到三角形MFE与三角形FCG全等，利用全等三角形对应边相等得到CG=FM，即CG=DF，可得FC+CG=FC+FD=CD，求出CD的长即可．

解答 解：（1）对于一次函数y=2x+2，
令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=-1，即A（-1，0），D（0，2），
对于一次函数y=-2x+8，
令y=0，得到x=4，即B（4，0），
∵DC∥x轴，
∴C纵坐标与D纵坐标相同，
把y=2代入y=-2x+8中，得：x=3，即C（3，2），CD=3，
则S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$×2×（3+5）=8；
（2）根据题意画出图形，如图所示，
过F作FM∥EC，交DE于点M，由△DEC为等边三角形，得到△DFM为等边三角形，
∴DF=FM=DM，DC-DF=DE-DM，即FC=ME，∠DMF=∠DCE=60°，即∠FME=120°，
∵CG为△DCE外角平分线，
∴∠DCG=∠DCE+∠ECG=120°=∠FME，
∵∠MFC=120°，∠GFE=60°，
∴∠MFE+∠CFG=60°，
∵∠CFG+∠G=60°，
∴∠MFE=∠G，
在△FME和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MFE=∠G}\\{∠FME=∠GCF}\\{ME=CG}\end{array}\right.$，
∴△FME≌△GCF（AAS），
∴FM=CG=DF，
∴FC+CG=FC+DF=CD=3．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，构造全等三角形是解本题第二问的关键．