Question

1．如图，点A是反比例函数y=$\frac{5\sqrt{3}}{x}$（x＞0）图象上一点，点B是x轴正半轴上一点，点C的坐标为（0，2），当△ABC是等边三角形时，点A的坐标为（$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，$\frac{25}{3}$）．

Answer 1

分析 首先根据点A是反比例函数y=$\frac{5\sqrt{3}}{x}$（x＞0）图象上一点，设点A的坐标为（x，$\frac{5\sqrt{3}}{x}$），点B的坐标为（a，0），则BC的中点D的坐标为（$\frac{a}{2}，1$）；然后判断出AD⊥BC，以及∠ABC=60°，判断出a、x的关系，求出当△ABC是等边三角形时，点A的坐标为多少即可．

解答 解：如图，，
设点A的坐标为（x，$\frac{5\sqrt{3}}{x}$），点B的坐标为（a，0），
则BC的中点D的坐标为（$\frac{a}{2}，1$）；
∵△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∴$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{x}-1}{x-\frac{a}{2}}$$•\frac{-2}{a}=-1$，
整理，可得
2ax²+（4-a²）x$-20\sqrt{3}$=0…（1）；
k_AB=$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{x}}{x-a}=\frac{5\sqrt{3}}{x（x-a）}$，${k}_{BC}=\frac{-2}{a}$，
∵∠ABC=60°，
∴$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{x（x-a）}-（\frac{-2}{a}）}{1-\frac{5\sqrt{3}}{x（x-a）}•\frac{2}{a}}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
整理，可得
（2-$\sqrt{3}a$）x²$+（{\sqrt{3}a}^{2}-2a）$x$+5\sqrt{3}a+30=0$…（2）；
由（1）（2），解得
x=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，y=$\frac{5\sqrt{3}}{\frac{3\sqrt{3}}{5}}=\frac{25}{3}$，
所以当△ABC是等边三角形时，点A的坐标为：（$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，$\frac{25}{3}$）．
故答案为：（$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，$\frac{25}{3}$）．

点评 此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，以及等边三角形的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．