Question

15．如图，已知正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，点P（0，m）是线段oc上的一动点9点P不与点O、C重合0，直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标；（用含m的代数式表示）
（2）若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出OA=AB=BC=OC=4，∠AOC=∠OCB=90°，证明△DMB∽△PMC，得BD=CP=4-m，AD=8-m，即可得出点D的坐标为；
（2）分两种情况：①当AP=AD时，根据勾股定理得出方程4²+m²=（8-m）²，解方程即可；
②当AP=DP时，点P在AD的垂直平分线上，得出OP=$\frac{1}{2}$AD，得出方程m=$\frac{1}{2}$（8-m），解方程即可．

解答 解：（1）∵四边形OABC是正方形，
∴OA=AB=BC=OC=4，∠AOC=∠OCB=90°，
∴∠DBM=90°=∠OCB，
∵M是BC的中点，
∴CM=BM=2，
∵OP=m，
∴CP=4-m，
∵∠PMC=∠DMB，
∴△DMB∽△PMC，
∴$\frac{BD}{CP}=\frac{BM}{CM}$=1，
∴BD=CP=4-m，
∴AD=8-m，
∴点D的坐标为（4，8-m）；
（2）分两种情况：①当AP=AD时，
∵AP²=4²+m²，
∴4²+m²=（8-m）²，
解得：m=3；
②当AP=DP时，点P在AD的垂直平分线上，
∴OP=$\frac{1}{2}$AD，
∴m=$\frac{1}{2}$（8-m），
解得：m=$\frac{8}{3}$；
综上所述：m的值为：3或$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．