Question

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-2ax-2（a＞0）与y轴交于点A，点B的坐标为（$\frac{1}{a}$，-2），过点B作y轴的平行线，交抛物线于点C，连结AB、AC．
（1）当点B与点C关于x轴对称时，求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）当点B在抛物线对称轴上时，求点C的坐标；
（3）在y轴上取一点D，使AD=AB，且点D、B在AC的两侧，连结CD，求AC，将四边形ABCD的面积分为1：2两部分时a的值．

Answer 1

分析 （1）根据点B与点C关于x轴对称，求出点C的坐标，进而求出a的值；
（2）根据点B在抛物线对称轴上，求出a的值，进而求出点C的坐标；
（3）先求出点C的坐标，再根据当AC将四边形ABCD的面积分为1：2两部分时，得到BC=2AD或AD=2BC，然后分类讨论点C在点B的上方还是下方，求出a的值．

解答 解：（1）∵B（$\frac{1}{a}$，-2），
∴C（$\frac{1}{a}$，2）．
∴$\frac{1}{a}$-2-2=2，
∴a=$\frac{1}{6}$，
∴抛物线所对应的函数表达式为y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{1}{3}$x-2；            
（2）∵抛物线的对称轴为x=1，
∴$\frac{1}{a}$=1，
∴a=1．
∴点C的坐标为（1，-3）．                                
（3）∵点C在抛物线上，点B的坐标为（$\frac{1}{a}$，-2），
∴点C的坐标为（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$-4）．
当AC将四边形ABCD的面积分为1：2两部分时，
BC=2AD或AD=2BC．
当点C在点B上方时，如图①．
$\frac{1}{a}$-4-（-2）=$\frac{2}{a}$，a=-$\frac{1}{2}$（舍去）．
$\frac{1}{a}$-4-（-2）=$\frac{1}{2a}$，a=$\frac{1}{4}$．
当点C在点B下方时，如图②．
-2-（$\frac{1}{a}$-4）=$\frac{1}{2a}$，a=$\frac{3}{4}$．
-2-（$\frac{1}{a}$-4）=$\frac{2}{a}$，a=$\frac{3}{2}$．
综上，a=$\frac{1}{4}$，a=$\frac{3}{4}$，a=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了二次函数综合题的知识，此题涉及到对称的性质、待定系数求函数解析式，二次函数的性质等知识，此题（3）问需要分类讨论点C在点B的上方还是下方，此题难度不大．