Question

10．如图，在△ABC中，AB=6cm，∠CAB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为9$\sqrt{2}$cm²．

Answer 1

分析 根据旋转的性质得∠ABA′=45°，BA′=BA，△ABC≌△A′BC′，则S_△ABC=S_△A′BC′，再利用面积的和差可得S_阴影部分=S_△ABA′，接着证明△ADB为等腰直角三角形，得到∠ADB=90°，进而得到AD的长，然后利用三角形面积公式计算S_△ABA，从而得到S_阴影部分．

解答 解：如图所示，设AC与BA′相交于D，
∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，
∴∠ABA′=45°，BA′=BA=6，△ABC≌△A′BC′，
∴S_△ABC=S_△A′BC′
∵S_{四边形AA′C′B}=S_△ABC+S_阴影部分=S_△A′BC′+S_△ABA′
∴S_阴影部分=S_△ABA′
∵∠BAC=45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴∠ADB=90°，AD=$\frac{1}{2}\sqrt{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
∴S_△ABA′=$\frac{1}{2}$AD•BA′=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×6=9$\sqrt{2}$，
∴阴影部分的面积=9$\sqrt{2}$cm²．
故答案为：9$\sqrt{2}$cm²．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．运用面积的和差解决不规则图形的面积是解决此题的关键．