Question

12．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列结论：①S_△ABP=S_△ACP；②AS=AR；③QP∥AB；④△BPR≌△QPS；⑤AQ=CQ中正确的有（　　）

• A． ①②③④
• B． ②③④
• C． ①③④⑤
• D． ①②③⑤

Answer 1

分析 由三角形的面积可判断①正确；从而可知BP=PC，利用三腰三角形的性质可知AP为∠BAC的平分线，则可证得△ARP≌△ASP，可判断②；利用等腰三角形的性质和平行线的判定可判断③；由P为BC中点，PQ∥AB可知Q为AC中点，可判断⑤；由③正确可得到∠PQS=∠BAC，从而可判断④不正确；可得出答案．

解答 解：
∵AB=AC，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PR，S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•PS，
∴S_△ABP=S_△ACP，故①正确；
∴BP=CP，
∴∠PAR=∠PAS，
在△APR和△APS中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAR=∠PAS}\\{∠ARP=∠ASP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$
∴△APR≌△APS（AAS），
∴AR=AS，故②正确；
∵AQ=PQ，
∴∠PAQ=∠APQ=∠PAB，
∴PQ∥AB，故③正确；
∵P为BC中点，
∴Q为AC中点，
∴AQ=QC，故⑤正确；
若△BPR≌△QPS成立，则有∠PQS=∠B=∠BAC，则必有△ABC为等边三角形，而由题目条件无法得到，故④不正确；
综上可知正确的有①②③⑤，
故选D．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，由条件证得P点为BC的中点是解题的关键，注意等积法的运用．