Question

如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD=BD，∠ADB=∠ACB=90°，AE=2BC．
（1）求证：BC=CD；
（2）求证：AC平分∠BAD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：证明题

分析：（1）分别延长AD和BC，使延长线交于点F，证△AED≌△BFD，推出AE=BF，求出BC=CF，即可得出答案；
（2）证出△BCA≌△FCA，推出∠3=∠5即可．

解答：证明：（1）分别延长AD和BC，使延长线交于点F，
∵在△BCE中，∠BCE=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∵在△ADB中，∠ADB=90°，
∴∠1+∠3=90°
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
在△AED和△BFD中

∠ADE=∠BDF=90° ∠3=∠4 AD=BD

∴△AED≌△BFD（AAS），
∴AE=BF，
又∵AE=2BC，
∴BF=2BC，
∴BC=CF，即点C为BF的中点
∴DC是直△BDF斜边BF上的中线，
∴BC=CD．

（2）在△BCA和△FCA中，

AC=AC ∠ACB=∠ACF=90° CB=CF

，
∴△BCA≌△FCA（SAS），
∴∠3=∠5，
即AC平分∠BAD．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．