Question

在△ABC中，∠BAC是锐角，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE．
（1）证明：AH=2BD；
（2）若将∠BAC改为钝角，其余条件不变，上述的结论还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：探究型

分析：（1）如图1，由AD与BE为两条高，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，AE=BE，利用ASA得到三角形AHE与三角形BCE全等，利用全等三角形的对应边相等得到AH=BC，由AB=AC，且AD垂直于BC，利用三线合一得到D为BC中点，即BC=2BD，等量代换即可得证；
（2）若将∠BAC改为钝角，其余条件不变，上述的结论还成立，理由为：如图2，由AD与BE为两条高，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，AE=BE，利用ASA得到三角形AHE与三角形BCE全等，利用全等三角形的对应边相等得到AH=BC，由AB=AC，且AD垂直于BC，利用三线合一得到D为BC中点，即BC=2BD，等量代换即可得证．

解答：（1）证明：如图1，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠CAD+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，
∴∠CAD=∠CBE，即∠EAH=∠CBE，
在△AHE和△BCE中，

∠EAH=∠CBE AE=BE ∠AEH=∠BEC=90°

，
∴△AHE≌△BCE（ASA），
∴AH=BC，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

BC，即BC=2BD，
则AH=2BD；
（2）解：若将∠BAC改为钝角，其余条件不变，上述的结论还成立，
证明：如图2，∵AD⊥BC，BE⊥AE，
∴∠CAD+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，
∴∠CAD=∠CBE，即∠EAH=∠CBE，
在△AHE和△BCE中，

∠EAH=∠CBE AE=BE ∠AEH=∠BEC=90°

，
∴△AHE≌△BCE（ASA），
∴AH=BC，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

BC，即BC=2BD，
则AH=2BD．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．