Question

如图，在△ABC中，以AB、AC为直角边，分别向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，连接EF，过点A作AD⊥BC，垂足为D，反向延长DA交EF于点M．
（1）用圆规比较EM与FM的大小．
（2）证明（1）中的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：计算题

分析：（1）利用圆规验证即可；
（2）作EH⊥AM，交AM于点H，FK⊥AM，交AM延长线于点K，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=AB，利用AAS得到三角形AEH与三角形ABD全等，利用全等三角形对应边相等得到EH=AD，同理得到三角形AFK与三角形ACD全等，得到AD=FK，等量代换得到FK=EH，再由一对直角相等且对顶角相等，利用AAS得到三角形FKM与三角形EHM全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．

解答：解：（1）利用圆规验证即可；
（2）证明：作EH⊥AM，交AM于点H，FK⊥AM，交AM延长线于点K，
∴∠AEH+∠EAH=90°，
∵∠EAB=90°，
∴∠EAH+∠BAD=90°，
∴∠AEH=∠BAD，
在△AEH和△BAD中，

∠AHE=∠ADB=90° ∠AEH=∠BAD AE=AB

，
∴△AEH≌△BAD（AAS），
∴EH=AD，
同理得到△AFK≌△ACD，
∴FK=AD，
∴FK=EH，
在△FKM和△EHM中，

∠FKM=∠EHM=90° ∠FMK=∠EMH FK=EH

，
∴△FKM≌△EHM（AAS），
∴FM=EM．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．