Question

5．已知关于x的一元二次方程x²+mx+n=0的两根分别是一个直角三角形两锐角的余弦值，且-n=$\frac{m-1}{5}$，求m，n的值．

Answer 1

分析 设直角三角形的两锐角分别为α，β，根据根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，利用同角三角函数间的基本关系变形，再利用完全平方公式化简，将-n=$\frac{m-1}{5}$代入，得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，进而得出n．

解答 解：设直角三角形的两锐角分别为α，β，
根据题意得：方程x²+mx+n=0的两根为cosα与cosβ（sinα=cosβ），
∴cosα+cosβ=cosα+sinα=-m，cosαsinα=n＞0，
又sin²α+cos²α=1，
∴（cosα+sinα）²-2sinαcosα=m²-2n=1，
∵-n=$\frac{m-1}{5}$，
∴m²-2（-$\frac{m-1}{5}$）=1，
整理得：5m²+2m-7=0，
解得：m=1或-$\frac{7}{5}$，
当m=1时，-n=0，不合题意舍去；
当m=-$\frac{7}{5}$时，-n=$\frac{-12}{25}$，n=$\frac{12}{25}$，符合题意．
故m=-$\frac{7}{5}$，n=$\frac{12}{25}$．

点评 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及互余两角三角函数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．